Comment étudier la fonction racine carrée ? Méthode et exemples

Q: Comment résoudre une équation du type racine de x égale k ?

On élève au carré : x = k2, à condition que k soit positif ou nul. Si k < 0, l'équation n'a pas de solution.

Q: La racine carrée de x au carré est-elle toujours égale à x ?

Non : racinex2 = |x|. Pour x = -3, racine9 = 3 et non -3. L'égalité racinex2 = x n'est vraie que si x 0.

Q: Comment donner l'image de 2 par cette fonction ?

racine2 1,414 : ce n'est pas un nombre décimal, on garde l'écriture exacte racine2 sauf si l'énoncé demande une valeur approchée.

Les étapes

1
Domaine
$[0; + \infty [$ [0 ;+∞[.
2
Variations
Croissante.
3
Équations
$x = k$ √(x) = k (avec $k \geq 0$ k ≥ 0) donne $x = k^{2}$ x = k².

Exemple corrigé

Résoudre $x = 3$ √(x) = 3.

1.On élève au carré : $x = 3^{2} = 9$ x = 3² = 9.
2.Vérification : $9 = 3$ √(9) = 3 ✓.

Résultat :

x = 9

x = 9.

Deuxième exemple

Résoudre $x = - 2$ √(x) = -2.

1.Une racine carrée est toujours positive ou nulle : $x \geq 0$ √(x) ≥ 0 pour tout $x \geq 0$ x ≥ 0.
2.Or $- 2 < 0$ -2 < 0.
3.Aucune valeur de $x$ x ne peut convenir.

Résultat : Pas de solution.

Piège à éviter

x = k

√(x) = k n'a de solution que si

k \geq 0

k ≥ 0 (une racine est positive).

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du type racine de x égale k ?

On élève au carré :

x = k^{2}

x = k², à condition que

k

k soit positif ou nul. Si

k < 0

k < 0, l'équation n'a pas de solution.

La racine carrée de x au carré est-elle toujours égale à x ?

Non :

x^{2} = ∣ x ∣

√(x²) = |x|. Pour

x = - 3

x = -3,

9 = 3

√(9) = 3 et non

- 3

-3. L'égalité

x^{2} = x

√(x²) = x n'est vraie que si

x \geq 0

x ≥ 0.

Comment donner l'image de 2 par cette fonction ?

2 \approx 1, 414

√(2) ≈ 1,414 : ce n'est pas un nombre décimal, on garde l'écriture exacte

2

√(2) sauf si l'énoncé demande une valeur approchée.

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