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Méthode · Seconde

Étudier la fonction valeur absolue

Étudier la fonction valeur absolue, c'est d'abord comprendre ce qu'elle mesure : la distance d'un nombre à zéro, toujours positive. Elle est définie sur ℝ, décroissante sur les négatifs puis croissante sur les positifs, avec un minimum de 0 atteint en 0. Sa courbe forme un V dont la pointe est à l'origine, et elle est paire, donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Les équations et inéquations qui la font intervenir se résolvent en revenant à cette idée de distance.

Les étapes pour étudier la fonction valeur absolue

  1. 1

    Variations

    Décroissante sur ]-∞ ;0], croissante sur [0 ;+∞[.
  2. 2

    Parité

    Paire : f(-x) = f(x).
  3. 3

    Équations

    |x| = k → ± k ; |x| < k → ]-k ;k[.

Exemple corrigé : étudier la fonction valeur absolue

Résoudre |x| = 4.

  1. 1.|x| = 4 ⇔ x = 4 ou x = -4.
Résultat : S = {-4 ;4}.

Deuxième exemple

Résoudre |x| < 3.

  1. 1.|x| est la distance de x à 0 : on cherche les nombres situés à distance strictement inférieure à 3.
  2. 2.Ce sont ceux compris strictement entre -3 et 3.
  3. 3.L'inégalité étant stricte, les bornes sont exclues.
Résultat : S = ]-3 ;3[.

Piège à éviter avec la fonction valeur absolue

|x| = k avec k < 0 n'a pas de solution (une distance n'est pas négative).

Questions fréquentes sur la fonction valeur absolue

Comment résoudre une équation avec une valeur absolue ?
|x| = k admet deux solutions, k et -k, si k > 0 ; une seule, 0, si k = 0 ; et aucune si k < 0.
Pourquoi la courbe forme-t-elle un angle en 0 ?
Parce que la fonction change de formule en 0 : elle vaut -x avant et x après, avec deux pentes différentes. Elle n'y est donc pas dérivable.
Que représente la valeur absolue d'une différence ?
La distance entre les deux nombres sur la droite graduée : |a - b| mesure leur écart, quel que soit leur ordre.

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