Comment trouver une image et un antécédent ? Méthode et exemples

Les étapes

1
Image : remplacer x
On calcule $f (a)$ f(a) en remplaçant $x$ x par $a$ a.
2
Antécédent : poser l'équation
On écrit $f (x) = b$ f(x) = b et on résout en $x$ x.
3
Conclure
On donne le résultat (et le nombre de solutions pour un antécédent).

Soit $f (x) = 2 x + 1$ f(x) = 2x + 1. Calculer l'image de $3$ 3 et l'antécédent de $7$ 7.

1.Image : $f (3) = 2 \times 3 + 1 = 7$ f(3) = 2× 3 + 1 = 7.
2.Antécédent : $2 x + 1 = 7 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ 2x + 1 = 7 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3.

Résultat : Image de

3

3 :

7

7. Antécédent de

7

7 :

3

Soit $f (x) = x^{2} - 1$ f(x) = x² - 1. Calculer l'image de $- 3$ -3, puis les antécédents de $3$ 3.

Résultat : L'image de

- 3

-3 est

8

8 ; les antécédents de

3

3 sont

- 2

-2 et

2

Un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ex. avec une fonction carré).

Pourquoi un antécédent demande-t-il une équation ?

Parce qu'on connaît le résultat et qu'on cherche l'entrée : il faut remonter le calcul, ce qui revient exactement à résoudre une équation.

Faut-il toujours préciser le nombre de solutions ?

Oui : répondre « l'antécédent de

3

3 est

2

2 » est incomplet s'il y en a deux. On les donne toutes.

Que répondre si l'équation n'a pas de solution ?

Que le nombre n'a pas d'antécédent. C'est une réponse valable : pour

f (x) = x^{2} - 1

f(x) = x² - 1, le nombre

- 5

-5 n'en a aucun.

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Des généralités aux fonctions de référence : image, antécédent, variations, courbes et fonctions usuelles.