Résoudre x² = k : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Pour résoudre $x^{2} = k$ x² = k : si $k > 0$ k > 0, il y a deux solutions opposées $x = k$ x = √(k) et $x = - k$ x = -√(k) ; si $k = 0$ k = 0, une seule solution $x = 0$ x = 0 ; si $k < 0$ k < 0, aucune solution réelle (un carré ne peut pas être négatif).

Graphiquement, on cherche où la parabole croise la droite horizontale $y = k$ y = k : deux points, un seul, ou aucun.

Le nombre de solutions dépend entièrement du signe de $k$ k, et c'est par là qu'il faut commencer. Oublier la solution négative quand $k > 0$ k > 0 est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Cette équation est la première que l'on rencontre où le nombre de solutions n'est pas fixé d'avance : deux, une ou aucune. Elle prépare le second degré.

Exemple

x^{2} = 16 ⟺ x = 4

x² = 16 ⇔ x = 4 ou

x = - 4

x = -4. En revanche

x^{2} = - 4

x² = -4 n'a aucune solution.

Deuxième exemple

3 x^{2} = 27

3x² = 27 : on isole d'abord,

x^{2} = 9

x² = 9, puis on conclut

x = 3

x = 3 ou

x = - 3

x = -3. Ne pas isoler avant de prendre la racine fausserait le résultat.

Piège à éviter

Ne pas oublier la solution négative :

x^{2} = 16

x² = 16 donne

\pm 4

± 4, pas seulement

4

Les autres formules de la fonction carré

Expression et variations →

f (x) = x^{2} \geq 0

f(x) = x² ≥ 0 Parité →

f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)

f(-x) = (-x)² = x² = f(x)Carré et ordre →

0 \leq a \leq b ⟹ a^{2} \leq b^{2} a \leq b \leq 0 ⟹ a^{2} \geq b^{2}

0 ≤ a ≤ b ⇒ a² ≤ b² a ≤ b ≤ 0 ⇒ a² ≥ b²

Questions fréquentes

Faut-il isoler le carré avant de résoudre ?

Oui :

3 x^{2} = 27

3x² = 27 devient

x^{2} = 9

x² = 9 avant toute conclusion. Sans cela, on prend la racine du mauvais nombre.

Pourquoi deux solutions et non une seule ?

Parce que deux nombres opposés ont le même carré. La fonction carré prend deux fois la même valeur, de part et d'autre de

0

Comment écrire les solutions quand k n'est pas un carré parfait ?

Sous forme exacte avec le radical :

x^{2} = 7

x² = 7 donne

x = 7

x = √(7) ou

x = - 7

x = -√(7).

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Formule : Résoudre x² = k