Parité : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

La fonction carré est paire : remplacer $x$ x par $- x$ -x ne change pas le résultat, car $(- x)^{2} = x^{2}$ (-x)² = x².

Cela se traduit sur la courbe par une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : la partie gauche est le reflet de la partie droite.

La parité vient d'une propriété de la multiplication : deux facteurs négatifs donnent un produit positif. C'est pourquoi $(- x) \times (- x)$ (-x) × (-x) redonne $x^{2}$ x².

Conséquence pratique : il suffit d'étudier la fonction sur les positifs, puis de compléter la courbe par symétrie. C'est un gain de temps sur tout tableau de valeurs.

Exemple

f (- 5) = (- 5)^{2} = 25

f(-5) = (-5)² = 25 et

f (5) = 5^{2} = 25

f(5) = 5² = 25 : même image.

Deuxième exemple

Le tableau de valeurs de

x^{2}

x² se remplit deux fois plus vite grâce à la parité :

f (1) = 1

f(1) = 1 donne

f (- 1) = 1

f(-1) = 1,

f (2) = 4

f(2) = 4 donne

f (- 2) = 4

f(-2) = 4,

f (3) = 9

f(3) = 9 donne

f (- 3) = 9

f(-3) = 9.

Les autres formules de la fonction carré

Expression et variations →

f (x) = x^{2} \geq 0

f(x) = x² ≥ 0 Résoudre x² = k →

x^{2} = k ⟺ x = k ou x = - k (k \geq 0)

x² = k ⇔ x = √(k) ou x = -√(k) (k ≥ 0)Carré et ordre →

0 \leq a \leq b ⟹ a^{2} \leq b^{2} a \leq b \leq 0 ⟹ a^{2} \geq b^{2}

0 ≤ a ≤ b ⇒ a² ≤ b² a ≤ b ≤ 0 ⇒ a² ≥ b²

Questions fréquentes

Comment reconnaître une fonction paire ?

En vérifiant que

f (- x) = f (x)

f(-x) = f(x) pour tout

x

x du domaine. Graphiquement, la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Le domaine doit-il être symétrique ?

Oui : pour que

f (- x)

f(-x) ait un sens, il faut que

- x

-x appartienne au domaine dès que

x

x y appartient. Sans cela, la question de la parité ne se pose pas.

La fonction carré est-elle croissante ?

Sur les positifs oui, mais elle décroît sur les négatifs. La parité lui interdit d'être monotone sur

R

ℝ entier.

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