Formule : Carré et ordre

Sur les nombres positifs, le carré conserve l'ordre : si $0\le a\le b$0 ≤ a ≤ b alors $a^2\le b^2$a² ≤ b². Sur les nombres négatifs, il inverse l'ordre : si $a\le b\le 0$a ≤ b ≤ 0 alors $a^2\ge b^2$a² ≥ b².

C'est la traduction des variations : la fonction carré décroît sur les négatifs et croît sur les positifs.

Cette double règle est la conséquence directe des variations : la fonction carré décroît sur les négatifs et croît sur les positifs, donc elle conserve l'ordre d'un côté et l'inverse de l'autre.

C'est pourquoi on ne peut jamais élever une inégalité au carré sans précaution : il faut d'abord savoir de quel côté de zéro on se trouve.