Expression et variations : la formule et un exemple

Q: Où se situe le minimum de la fonction carré ?

En 0, où elle vaut 0. C'est le sommet de la parabole, son point le plus bas.

Ce que dit la formule

La fonction carré est $f (x) = x^{2}$ f(x) = x². Un carré n'est jamais négatif : $x^{2} \geq 0$ x² ≥ 0 pour tout $x$ x, avec $x^{2} = 0$ x² = 0 uniquement pour $x = 0$ x = 0.

Elle est décroissante sur $] - \infty; 0]$ ]-∞ ;0] puis croissante sur $[0; + \infty [$ [0 ;+∞[ : son minimum est $0$ 0, atteint au sommet de la parabole.

La positivité $x^{2} \geq 0$ x² ≥ 0 est la propriété la plus utilisée de toute la seconde : elle justifie qu'une somme de carrés ne s'annule que si chaque terme est nul, et que certaines équations n'ont pas de solution.

Le changement de sens en $0$ 0 fait de la parabole une courbe en U, dont le sommet est l'origine et l'axe de symétrie l'axe des ordonnées.

Exemple

f (- 3) = (- 3)^{2} = 9

f(-3) = (-3)² = 9,

f (0) = 0

f(0) = 0,

f (2) = 4

f(2) = 4.

Deuxième exemple

x^{2} + 1 = 0

x² + 1 = 0 n'a aucune solution :

x^{2} \geq 0

x² ≥ 0 donc

x^{2} + 1 \geq 1

x² + 1 ≥ 1, et l'expression ne peut jamais valoir

0

0. La parabole ne descend jamais sous la droite

y = 1

y = 1.

Piège à éviter

Attention :

f

f n'est pas croissante sur

R

ℝ tout entier. Par exemple

- 3 < - 2

-3 < -2 mais

(- 3)^{2} = 9 > 4 = (- 2)^{2}

(-3)² = 9 > 4 = (-2)².

Les autres formules de la fonction carré

Résoudre x² = k →

x^{2} = k ⟺ x = k ou x = - k (k \geq 0)

x² = k ⇔ x = √(k) ou x = -√(k) (k ≥ 0)Parité →

f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)

f(-x) = (-x)² = x² = f(x)Carré et ordre →

0 \leq a \leq b ⟹ a^{2} \leq b^{2} a \leq b \leq 0 ⟹ a^{2} \geq b^{2}

0 ≤ a ≤ b ⇒ a² ≤ b² a ≤ b ≤ 0 ⇒ a² ≥ b²

Questions fréquentes

Pourquoi un carré est-il toujours positif ?

Parce qu'un nombre multiplié par lui-même donne un produit de deux facteurs de même signe, donc positif. Seul

0

0 donne

0

Où se situe le minimum de la fonction carré ?

0

0, où elle vaut

0

0. C'est le sommet de la parabole, son point le plus bas.

Comment se sert-on de la positivité du carré ?

Pour montrer qu'une expression garde un signe constant :

x^{2} + 3

x² + 3 est toujours supérieur ou égal à

3

3, donc jamais nul.

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