Coefficient directeur (par deux points) : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Si la droite passe par deux points $A (x_{A}; y_{A})$ A(x_A ;y_A) et $B (x_{B}; y_{B})$ B(x_B ;y_B), son coefficient directeur est $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) : la variation des ordonnées divisée par celle des abscisses.

Ce taux de variation est constant pour une fonction affine : c'est ce qui caractérise une droite.

Le coefficient directeur est un taux de variation : il mesure de combien $f$ f change quand $x$ x augmente d'une unité. Pour une fonction affine, ce taux est constant, ce qui est précisément la caractérisation d'une droite.

Cette constance permet de vérifier un alignement : si trois points sont alignés, le coefficient calculé avec $A$ A et $B$ B doit être identique à celui calculé avec $A$ A et $C$ C.

Exemple

Avec

A (1; 5)

A(1 ;5) et

B (3; 11)

B(3 ;11) :

a = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3

a = (11 - 5)/(3 - 1) = 6/2 = 3.

Deuxième exemple

Avec

A (- 2; 7)

A(-2 ;7) et

B (4; - 5)

B(4 ;-5) :

a = \frac{- 5 - 7}{4 - ( - 2 )} = \frac{- 12}{6} = - 2

a = (-5-7)/(4-(-2)) = (-12)/6 = -2. Le point

C (0; 3)

C(0 ;3) est-il aligné ?

\frac{3 - 7}{0 - ( - 2 )} = \frac{- 4}{2} = - 2

(3-7)/(0-(-2)) = (-4)/2 = -2 : oui.

Piège à éviter

Respecter le même ordre en haut et en bas :

y_{B} - y_{A}

y_B - y_A au-dessus de

x_{B} - x_{A}

x_B - x_A (pas

x_{A} - x_{B}

x_A - x_B).

Les autres formules de la fonction affine

Expression d'une fonction affine →

f (x) = a x + b

f(x) = ax + b Ordonnée à l'origine →

b = f (0)

b = f(0)Signe d'une fonction affine →

f (x) = 0 ⟺ x = - \frac{b}{a} (a \neq = 0)

f(x) = 0 ⇔ x = -b/a (a ≠ 0)

Questions fréquentes

Comment vérifier un alignement avec le coefficient directeur ?

On le calcule entre

A

A et

B

B, puis entre

A

A et

C

C : si les deux valeurs coïncident, les points sont alignés.

Le coefficient directeur dépend-il des points choisis ?

Non, et c'est ce qui caractérise une droite : deux points quelconques donnent toujours la même valeur.

Quel lien avec le nombre dérivé ?

Pour une fonction affine, le coefficient directeur est la dérivée, constante partout. Pour une autre fonction, le nombre dérivé joue ce rôle localement.

Tout sur fonctions en seconde

Des généralités aux fonctions de référence : image, antécédent, variations, courbes et fonctions usuelles.

Formule : Coefficient directeur (par deux points)