Expression d'une fonction affine : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Toute fonction affine s'écrit $f (x) = a x + b$ f(x) = ax + b. Le nombre $a$ a est le coefficient directeur (la pente) et $b$ b l'ordonnée à l'origine (la valeur en $0$ 0).

Pour calculer une image, on remplace $x$ x par sa valeur. Pour trouver un antécédent de $y$ y, on résout l'équation $a x + b = y$ ax + b = y.

Toute fonction affine se lit sur deux nombres seulement : $a$ a donne l'inclinaison, $b$ b la hauteur de départ. C'est ce qui rend ces fonctions si commodes à manipuler.

Le cas $a = 0$ a = 0 donne une fonction constante, le cas $b = 0$ b = 0 une fonction linéaire, dont la droite passe par l'origine. Les deux sont des fonctions affines particulières.

Exemple

Pour

f (x) = 2 x - 3

f(x) = 2x - 3 :

a = 2

a = 2,

b = - 3

b = -3,

f (0) = - 3

f(0) = -3 et

f (4) = 2 \times 4 - 3 = 5

f(4) = 2× 4 - 3 = 5.

Deuxième exemple

f (x) = - 0, 5 x + 4

f(x) = -0,5x + 4 :

a = - 0, 5

a = -0,5 et

b = 4

b = 4. L'image de

6

6 vaut

f (6) = - 3 + 4 = 1

f(6) = -3 + 4 = 1, et l'antécédent de

0

0 se trouve en résolvant

- 0, 5 x + 4 = 0

-0,5x + 4 = 0, soit

x = 8

x = 8.

Piège à éviter

Bien repérer le signe de

b

b : dans

f (x) = 2 x - 3

f(x) = 2x - 3, on a

b = - 3

b = -3 (et non

3

3).

Les autres formules de la fonction affine

Coefficient directeur (par deux points) →

a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A)Ordonnée à l'origine →

b = f (0)

b = f(0)Signe d'une fonction affine →

f (x) = 0 ⟺ x = - \frac{b}{a} (a \neq = 0)

f(x) = 0 ⇔ x = -b/a (a ≠ 0)

Questions fréquentes

Quelle différence entre fonction affine et fonction linéaire ?

Une fonction linéaire est une fonction affine dont

b = 0

b = 0 : sa droite passe par l'origine et elle traduit une situation de proportionnalité.

Comment trouver l'antécédent d'un nombre ?

On résout l'équation

a x + b = y

ax + b = y, qui est du premier degré et admet toujours une solution unique quand

a \neq = 0

a ≠ 0.

Une fonction affine est-elle proportionnelle ?

Seulement si

b = 0

b = 0. Sinon la relation n'est pas de proportionnalité : doubler

x

x ne double pas

f (x)

f(x).

Tout sur fonctions en seconde

Des généralités aux fonctions de référence : image, antécédent, variations, courbes et fonctions usuelles.

Formule : Expression d'une fonction affine