Signe d'une fonction affine : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Une fonction affine non constante s'annule en une seule valeur, $x_{0} = - \frac{b}{a}$ x₀ = -b/a. Avant et après ce point, elle est de signes opposés.

La règle : du côté droit (grandes valeurs de $x$ x), $f$ f a le signe de $a$ a ; du côté gauche, le signe opposé.

Une fonction affine non constante change de signe exactement une fois, en son unique zéro. C'est ce qui rend son tableau de signes si simple : deux zones séparées par une valeur.

Le sens du changement se lit sur $a$ a : si $a > 0$ a > 0, la fonction passe du négatif au positif ; si $a < 0$ a < 0, c'est l'inverse.

Exemple

Pour

f (x) = - 2 x + 4

f(x) = -2x + 4 :

f (x) = 0

f(x) = 0 pour

x = 2

x = 2. Comme

a = - 2 < 0

a = -2 < 0,

f

f est positive avant

2

2 et négative après.

Deuxième exemple

f (x) = 3 x - 12

f(x) = 3x - 12 s'annule pour

x = 4

x = 4. Comme

a = 3 > 0

a = 3 > 0, la fonction est négative sur

] - \infty; 4 [

]-∞ ;4[ et positive sur

] 4; + \infty [

]4 ;+∞[.

Piège à éviter

Le point d'annulation est

- \frac{b}{a}

-b/a, avec le signe « moins » : pour

- 2 x + 4

-2x + 4, c'est

- \frac{4}{- 2} = 2

-4/(-2) = 2.

Les autres formules de la fonction affine

Expression d'une fonction affine →

f (x) = a x + b

f(x) = ax + b Coefficient directeur (par deux points) →

a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A)Ordonnée à l'origine →

b = f (0)

b = f(0)

Questions fréquentes

Que se passe-t-il si le coefficient a vaut 0 ?

La fonction est constante : elle garde le signe de

b

b partout et ne change jamais de signe.

Comment retenir de quel côté se trouve le signe de a ?

Du côté des grandes valeurs de

x

x, c'est-à-dire à droite. Pour

a > 0

a > 0, la fonction finit par devenir positive.

À quoi sert le tableau de signes d'une fonction affine ?

À résoudre des inéquations, et surtout à étudier le signe d'un produit ou d'un quotient de plusieurs facteurs affines.

Tout sur fonctions en seconde

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Formule : Signe d'une fonction affine