Notion

Les intervalles

Q: C'est quoi un intervalle ?

C'est un ensemble de nombres compris entre deux bornes, noté avec des crochets. [2 ; 5] désigne tous les nombres entre 2 et 5.

Q: Crochet ouvert ou fermé, quelle différence ?

Fermé [ : la borne est incluse (correspond à ≤). Ouvert ] : la borne est exclue (correspond à <). [2 ; 5] contient 5, ]2 ; 5[ ne le contient pas.

Q: Pourquoi l'infini a toujours un crochet ouvert ?

Parce que l'infini n'est pas un nombre qu'on peut atteindre : on ne peut donc pas l'inclure. On écrit toujours ]…+∞[ ou ]−∞…[.

Q: Comment écrire « x compris entre 2 et 5 » ?

Avec un intervalle : [2 ; 5] si les bornes sont incluses, ]2 ; 5[ si elles sont exclues.

Q: Que signifie l'union de deux intervalles ?

Le symbole ∪ réunit les deux intervalles. Par exemple ]−∞ ; 0[ ∪ ]3 ; +∞[ désigne les x négatifs ou supérieurs à 3.

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, ou s'étendant à l'infini d'un côté. On le note avec des crochets : $[a; b]$ [a ;b] contient toutes les valeurs entre $a$ a et $b$ b, bornes comprises (crochets fermés), tandis que $] a; b [$ ]a ;b[ les exclut (crochets ouverts). On distingue les intervalles bornés, comme $[2; 5]$ [2 ;5], et non bornés, comme $[0; + \infty [$ [0 ;+∞[ ou $] - \infty; 3]$ ]-∞ ;3], où le crochet est toujours ouvert du côté de l'infini. Les intervalles servent à décrire un ensemble de solutions, un domaine de définition ou une plage de valeurs. On peut aussi les combiner par intersection $(\cap)$ (∩) et réunion $(\cup)$ (∪).

Définitions

Intervalle: C'est un ensemble de réels compris entre deux bornes. $[a; b]$ [a ;b] inclut $a$ a et $b$ b ; $] a; b [$ ]a ;b[ les exclut.
Crochet ouvert ou fermé: Crochet fermé $[$ [ : la borne est incluse ( $\leq$ ≤). Crochet ouvert $]$ ] : la borne est exclue ( $<$ <). L'infini prend toujours un crochet ouvert.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Notation des intervalles →

[a; b] = {x : a \leq x \leq b}] a; b [= {x : a < x < b}

[a ;b] = {x : a ≤ x ≤ b} ]a ;b[ = {x : a < x < b}Crochet fermé = borne incluse, ouvert = exclue.Intersection et réunion d'intervalles →

[1; 4] \cap [3; 6] = [3; 4] [1; 4] \cup [3; 6] = [1; 6]

[1 ;4]∩[3 ;6]=[3 ;4] [1 ;4]∪[3 ;6]=[1 ;6]L'intersection garde le commun, la réunion rassemble tout.

Méthodes

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Utiliser les intervalles →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Intervalle fermé

Niveau 1 · Application directe

Écrire l'ensemble des

x

x tels que

2 \leq x \leq 5

2 ≤ x ≤ 5.

Voir la correction

1.
Les deux bornes sont incluses ( $\leq$ ≤).
→ Notation des intervalles
2.
$[2; 5]$ [2 ;5].

Réponse :

[2; 5]

[2 ;5].

Méthode utilisée : Bornes incluses : crochets fermés.

Erreur fréquente : Mettre des crochets ouverts.

Intervalle semi-ouvert

Niveau 2 · Méthode complète

Écrire l'ensemble des

x

x tels que

2 \leq x < 5

2 ≤ x < 5.

Voir la correction

1.
$2$ 2 incluse, $5$ 5 exclue.
→ Notation des intervalles
2.
$[2; 5 [$ [2 ;5[.

Réponse :

[2; 5 [

[2 ;5[.

Méthode utilisée : Borne gauche incluse (fermée), borne droite exclue (ouverte).

Erreur fréquente : Fermer la borne $5$ 5.

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Questions fréquentes

C'est quoi un intervalle ?

C'est un ensemble de nombres compris entre deux bornes, noté avec des crochets. [2 ; 5] désigne tous les nombres entre 2 et 5.

Crochet ouvert ou fermé, quelle différence ?

Fermé [ : la borne est incluse (correspond à ≤). Ouvert ] : la borne est exclue (correspond à <). [2 ; 5] contient 5, ]2 ; 5[ ne le contient pas.

Pourquoi l'infini a toujours un crochet ouvert ?

Parce que l'infini n'est pas un nombre qu'on peut atteindre : on ne peut donc pas l'inclure. On écrit toujours ]…+∞[ ou ]−∞…[.

Comment écrire « x compris entre 2 et 5 » ?

Avec un intervalle : [2 ; 5] si les bornes sont incluses, ]2 ; 5[ si elles sont exclues.

Que signifie l'union de deux intervalles ?

Le symbole ∪ réunit les deux intervalles. Par exemple ]−∞ ; 0[ ∪ ]3 ; +∞[ désigne les x négatifs ou supérieurs à 3.

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