Les étapes pour étudier le signe d'une fonction

1
Factoriser si possible
On écrit $f$ f comme un produit (ou un quotient) de facteurs simples, généralement affines.
2
Trouver les zéros et valeurs interdites
On résout $f (x) = 0$ f(x) = 0 (chaque facteur du numérateur) et on repère les valeurs qui annulent le dénominateur.
3
Signe de chaque facteur
On dresse une ligne de signe par facteur (une fonction affine est du signe de son coefficient $a$ a après sa racine).
4
Multiplier les signes
On applique la règle des signes colonne par colonne pour obtenir le signe de $f$ f, et on conclut.

Exemple corrigé : étudier le signe d'une fonction

Étudier le signe de $f (x) = (2 x - 4) (x + 1)$ f(x) = (2x - 4)(x + 1).

1.Zéros : $2 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ 2x - 4 = 0 ⇒ x = 2 ; $x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$ x + 1 = 0 ⇒ x = -1.
2. $2 x - 4$ 2x - 4 est négatif avant $2$ 2, positif après ; $x + 1$ x + 1 est négatif avant $- 1$ -1, positif après.
3.Produit : sur $] - \infty; - 1 [$ ]-∞ ;-1[ $(-) (-) = +$ (-)(-) = + ; sur $] - 1; 2 [$ ]-1 ;2[ $(-) (+) = -$ (-)(+) = - ; sur $] 2; + \infty [$ ]2 ;+∞[ $(+) (+) = +$ (+)(+) = +.

Résultat :

f (x) > 0

f(x) > 0 sur

] - \infty; - 1 [\cup] 2; + \infty [

]-∞ ;-1[∪]2 ;+∞[,

f (x) < 0

f(x) < 0 sur

] - 1; 2 [

]-1 ;2[, nul en

- 1

-1 et

2

Ordonner les valeurs sur l'axe avant de remplir le tableau : ici

- 1

-1 vient avant

2

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Des généralités aux fonctions de référence : image, antécédent, variations, courbes et fonctions usuelles.

Définitions, formules et exercices corrigés sur la même notion :