Pourquoi ℝ plutôt que ℚ ? Parce que √(2) manque dans ℚ, et surtout parce que dans ℝ toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure : c'est cette propriété qui fait fonctionner toute l'analyse de l'année.
Au programme : ℝ comme corps totalement ordonné, majorants et minorants, maximum et minimum, borne supérieure sup A et borne inférieure inf A, avec la caractérisation par les ε : M=sup A lorsque M majore A et que, pour tout ε>0, il existe a∈ A tel que a>M-ε.
On en déduit la propriété d'Archimède, la densité de ℚ et de ℝ\ℚ dans ℝ, la partie entière, la valeur absolue et l'inégalité triangulaire. Piège classique : croire que la borne supérieure appartient à l'ensemble — celle de ]0 ; 1[ vaut 1, qui n'est pas dans l'intervalle.