Un polynôme n'est plus une fonction mais un objet formel, élément de K[X], muni d'une arithmétique qui reproduit trait pour trait celle de ℤ.
Au programme : degré et opérations, division euclidienne, divisibilité, PGCD et théorème de Bézout dans K[X] ; racines et multiplicité, caractérisation par les dérivées successives, factorisation dans ℂ[X] grâce au théorème de d'Alembert-Gauss et dans ℝ[X] (facteurs du premier degré et trinômes de discriminant négatif), relations entre coefficients et racines.
Les fractions rationnelles suivent : partie entière, pôles et décomposition en éléments simples — technique indispensable pour intégrer une fraction P/Q. Pièges classiques : confondre le polynôme et la fonction polynomiale associée, et oublier qu'un polynôme non nul de degré n a au plus n racines.