Dériver en L1, ce n'est plus seulement calculer : c'est démontrer. Le nombre dérivé redevient une limite de taux d'accroissement, et l'on en tire des théorèmes globaux sur la fonction.
Au programme : dérivabilité en un point, lien avec la continuité (dérivable implique continue, la réciproque est fausse : x↦|x| en 0), dérivées à gauche et à droite, opérations, dérivée d'une composée et d'une réciproque (f⁻¹)'(y)=1/f'(f⁻¹(y)), dérivées successives et classes Cⁿ.
Les théorèmes clés : lemme de Rolle, égalité des accroissements finis f(b)-f(a)=f'(c)(b-a), inégalité des accroissements finis, et le lien entre le signe de f' et la monotonie — désormais démontré, plus admis. Piège classique : oublier une hypothèse de Rolle (continuité sur [a ; b], dérivabilité sur ]a ; b[, f(a)=f(b)).