Ce chapitre transforme l'intuition du lycée — « la courbe se trace sans lever le crayon » — en énoncés démontrables, à partir des définitions quantifiées de la limite et de la continuité.
Au programme : limite en un point et en l'infini, caractérisation séquentielle (l'outil pour prouver qu'une limite n'existe pas), opérations et composition ; continuité en un point puis sur un intervalle, prolongement par continuité, et continuité uniforme dans certaines maquettes.
Les trois théorèmes structurants : le théorème des valeurs intermédiaires ; le théorème des bornes atteintes — une fonction continue sur un segment [a ; b] est bornée et atteint ses bornes ; le théorème de la bijection, pour une fonction continue et strictement monotone. Piège classique : invoquer le théorème des bornes sur un intervalle ouvert ou non borné, où il est faux.