L'intégrale du lycée était une aire admise ; celle de la L1 est construite : on encadre la fonction par des fonctions en escalier et on montre que l'encadrement se referme.
Au programme : fonctions en escalier, intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, sommes de Riemann (b-a)/nΣ_k=0ⁿ⁻¹f(a+k (b-a)/n) et leur limite, linéarité, positivité, relation de Chasles, inégalité de la moyenne et inégalité de Cauchy-Schwarz.
Côté calcul : le théorème fondamental — x↦∫ₐ^(x) f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a —, l'intégration par parties, le changement de variable, les primitives de fractions rationnelles et les intégrales trigonométriques. Piège classique : changer de variable sans changer les bornes, ou sans vérifier que le changement est bien de classe C¹ et bijectif.