Ce chapitre fonde l'analyse réelle rigoureuse : la notion de limite d'une fonction et celle de continuité, avec les grands théorèmes associés.
Au programme : limites finies et infinies, opérations et formes indéterminées, théorèmes de comparaison et théorème d'encadrement (« des gendarmes »), puis continuité en un point et sur un intervalle. Deux résultats majeurs : le théorème des valeurs intermédiaires (une fonction continue ne saute pas de valeurs) et le théorème des bornes (une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes).
Ces théorèmes prouvent l'existence de solutions d'équations et de points fixes. Piège classique : appliquer le TVI sans vérifier la continuité, ou confondre « bornée » et « atteint ses bornes ».