Ce chapitre traite la convexité des fonctions, une propriété géométrique riche en conséquences pour les inégalités et l'optimisation.
Au programme : définition d'une fonction convexe (courbe sous ses cordes, au-dessus de ses tangentes), caractérisation par la croissance de la dérivée ou par le signe de la dérivée seconde f''≥ 0, et notion de point d'inflexion. On en déduit des inégalités classiques, dont l'inégalité de convexité et l'inégalité de Jensen.
Applications : démontrer des inégalités (par exemple entre moyennes) et localiser des extremums. Piège fréquent : confondre convexe et croissant — deux propriétés indépendantes —, et oublier que la convexité se lit sur f'', pas sur f'.